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已知:如图:在△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC=5cm,等腰RtDEF中,∠FDE=DE=3cm。动点DE始终在边AB上,当点DA点沿AC方向移动。

1)在RtDEF沿AC方向移动的过程中,FC两点之间的距离逐渐_______。(填“不变“变大”或“变小”)

2)当FC连线与AB平行时,求AD的长。

3)以线段ADFCBC的长度为三边长的三角形是直角三角形时,求AD的长

 

答案:
(1)变小;(2);(3)AD=6.7cm或4.2cm. 【解析】 (1)根据题意可知:DF=3cm,DC逐渐变小,再根据勾股定理即可判断; (2)根据30°所对的直角边是斜边的一半和平行线的性质,可得:AC=2BC=10cm,∠FCD=∠A=30°,再根据锐角三角函数求出CD,从而求出AD; (3)设AD=x,根据题意可知:0<x≤10-3=7,则CD= AC-AD=10-x,再根据勾股定理可得:FC=,然后根据直角三角形斜边的情况分类讨论,最后利用勾股定理分别求出每种情况中x的值即可. 解:(1)根据题意可知:DF=DE=3cm,DC逐渐变小, 根据勾股定理可得:FC= ∴F,C两点之间的距离逐渐变小, 故答案为:变小; (2)如下图所示,FC∥AB ∵∠B=90°,∠A=30°,BC=5cm, ∴AC=2BC=10cm,∠FCD=∠A=30° 在Rt△CFD中,CD=cm ∴AD=AC-CD=; (3)设AD=x,根据题意可知:0<x≤10-3=7,则CD= AC-AD=10-x 根据勾股定理可得:FC= ①若AD为斜边时, ∴AD2=FC2+BC2 ∴ 解得:; ②若FC为斜边时, ∴FC2= AD2 +BC2 ∴ 解得:; ③若BC为斜边时, ∴BC2= AD2 + FC2 ∴ 整理得: ∵ ∴此方程无解. 综上所述:AD=6.7cm或4.2cm.
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