答案:
(1)详见解析;(2)详见解析;(3)三棱锥的体积为.
【解析】
试题分析:(1)证明四边形为平行四边形,进而得到,再利用直线与平面平行的判定定理得到平面;(2)过点作交于点,连接、、,先证明平面,于是得到平面,从而得到,再证明四边形为菱形,从而得到
,利用直线与平面垂直的判定定理得到平面,从而得到;(3)由平面,由,得到平面,从而将三棱锥的体积的计算变换成以点为顶点,以所在平面为底面的三棱锥来计算体积.
试题解析:(1)∵AD∥EF,EF∥BC,∴AD∥BC.
又∵BC=2AD,G是BC的中点,∴AD//BG,
∴四边形ADGB是平行四边形,∴AB∥DG.
∵AB⊄平面DEG,DG⊂平面DEG,∴AB∥平面DEG.
(2)证明:∵EF⊥平面AEB,AE⊂平面AEB,∴EF⊥AE,
又AE⊥EB,EB∩EF=E,EB,EF⊂平面BCFE,∴AE⊥平面BCFE.
过D作DH∥AE交EF于H,则DH⊥平面BCFE.
∵EG⊂平面BCFE,∴DH⊥EG.
∵AD∥EF,DH∥AE,∴四边形AEHD平行四边形,∴EH=AD=2,
∴EH=BG=2,又EH∥BG,EH⊥BE,
∴四边形BGHE为正方形,∴BH⊥EG,
又BH∩DH=H,BH⊂平面BHD,DH⊂平面BHD,∴EG⊥平面BHD.
∵BD⊂平面BHD,∴BD⊥EG.(10分)
(3)∵⊥平面,EF//AD,∴AD⊥平面,故三棱锥A-BED的高为AD
∵,∴S△AEB ==
∴= S△AEB=(14分)
考点:1.直线与平面平行;2.异面直线垂直;3.等体积法计算三棱锥的体积