Question

（20分）CDE是固定在绝缘水平面上的光滑金属导轨，CD = DE = L，∠CDE=60°，如图甲所示，CD和DE单位长度的电阻均为r₀，导轨处于磁感应强度为B．竖直向下的匀强磁场中。一根金属杆MN，长度大于L，电阻可忽略不计。现MN在向右的水平拉力作用下以速度v₀，在CDE上匀速滑行。MN在滑行的过程中始终与CDE接触良好，并且与C．E所确定的直线平行。

   （1）求MN滑行到C．E两点时，C．D两点电势差的大小；

   （2）推导MN在CDE上滑动过程中，回路中的感应电动势E与时间t的关系表达式；

   （3）在运动学中我们学过：通过物体运动速度和时间的关系图线（v – t 图）可以求出物体运动的位移x，如图乙中物体在0 – t₀时间内的位移在数值上等于梯形Ov₀P t₀的面积。通过类比我们可以知道：如果画出力与位移的关系图线（F—x图）也可以通过图线求出力对物体所做的功。

请你推导MN在CDE上滑动过程中，MN所受安培力F_安与MN的位移x的关系表达式，并用F_安与x的关系图线求出MN在CDE上整个滑行的过程中，MN和CDE构成的回路所产生的焦耳热。

Answer

（1）

（2）

（3）

【解析】（1）MN滑行到C．E两点时，在回路中的长度等于L，此时回路中的感应电动势

由于MN的电阻忽略不计，CD和DE的电阻相等，

所以C．D两点电势差的大小

   （2）设经过时间t运动到如图所示位置，此时杆在回路中的长度

电动势   （6分）

   （3）在第（2）题图示位置时，回路中的电阻，

回路中的电流

即回路中的电流为一常量。

此时安培力的大小

由于MN在CDE上滑动时的位移

所以    （5分）

所以安培力的大小随位移变化的图线（F安－x）如图所示

所以在MN在CDE上的整个滑行过程中，安培力所做的功

根据能量的转化和守恒定律

回路中产生的焦耳热Q等于安培力所做的功，即

 （5分）