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是奇函数,是偶函数,且其中.

1)求的表达式,并求函数的值域

2)若关于的方程在区间内恰有两个不等实根,求常数的取值范围

 

答案:
(1)值域为(2) 【解析】 (1)由函数的奇偶性可得,再结合条件列方程组求解,进而可得,利用函数单调性可求得值域; (2)由题意得方程在区间内恰有两个不等实根,令,则可将方程转化为在区间内有唯一实根,利用函数单调性求得函数的值域,进而可得常数的取值范围. (1)由已知①, 以代,得, 因为是奇函数,是偶函数, 所以②, 联立①②可得, , 又,,,于是, 函数的值域为; (2)题意即方程在区间内恰有两个不等实根. 显然不是该方程的根,所以令 由得,则原方程可变形为 易知函数为偶函数,且在区间内单调递增,所以 且题意转化为方程在区间内有唯一实根(因为每一个在区间内恰有两个值与之对应). 易知在区间内单调递减, 又时,, 所以(此时每一个,在区间内有且仅有一个值与之对应). 综上所述,所求常数的取值范围是.
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