Question

设是奇函数，是偶函数，且其中.

（1）求和的表达式，并求函数的值域

（2）若关于的方程在区间内恰有两个不等实根，求常数的取值范围

Answer

（1）值域为（2）

【解析】

（1）由函数的奇偶性可得，再结合条件列方程组求解，进而可得，利用函数单调性可求得值域；

（2）由题意得方程在区间内恰有两个不等实根，令，则可将方程转化为在区间内有唯一实根，利用函数单调性求得函数的值域，进而可得常数的取值范围.

（1）由已知①，

以代，得，

因为是奇函数，是偶函数，

所以②，

联立①②可得，

，

又，，，于是，

函数的值域为；

（2）题意即方程在区间内恰有两个不等实根.

显然不是该方程的根，所以令

由得，则原方程可变形为

易知函数为偶函数，且在区间内单调递增，所以

且题意转化为方程在区间内有唯一实根(因为每一个在区间内恰有两个值与之对应).

易知在区间内单调递减，

又时，，

所以（此时每一个，在区间内有且仅有一个值与之对应).

综上所述，所求常数的取值范围是.