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设椭圆的右焦点为,直线轴交于点,假设(其中为坐标原点)

1)求椭圆的方程;

2)设是椭圆上的任意一点,为圆的任意一条直径(为直径的两个端点),求的最大值

 

答案:
(1)(2)11 【解析】 (1)先求出坐标,再由,联立求解,即可求得,进而求得标准方程; (2)解法不唯一,可采用方法1中的向量法进行转化;也可采用方法2,纯代数运算,分别表示出点,其中的中点坐标为,可得,再表示出的坐标表达式,结合二次函数最值可求解;还可采用分类讨论直线斜率是否存在的方法,求出直线与圆的点坐标,再结合的坐标运算及二次函数性质即可求解; (1)由题设知,,,由,得解得、因此椭圆的方程为; (2)方法1:设圆的圆心为, 那么, 从而求的最大值转化为求的最大值, 因为是椭圆上的任意一点,设,因此,即, 因为,因此, 因为,因此当时,取得最大值12, 因此的最大值为11; 方法2:设点, 因为的中点坐标为,因此 因此, , , , 因为点在圆上,因此,即, 因为点在椭圆上,因此,即, 因此, 因为,因此当时,; 方法3:①假设直线的斜率存在,设的方程为, 由,解得, 因为是椭圆上的任一点,设点, 因此,即, 因此, 因此, 因为,因此当时,取得最大值11; ②假设直线的斜率不存在,则的方程为, 由,解得或, 不妨设,,, 因为是椭圆上的任一点,设点, 因此,即, 因此,, 因此, 因为,因此当时,取得最大值11, 综上可知,的最大值为11
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