Question

如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E，F分别为AD，BP的中点，AD=，AP=，PC=.

（Ⅰ）求证：EF∥平面PDC；

（Ⅱ）若∠CDP＝90°，求证BE⊥DP;

（Ⅲ）若∠CDP＝120°，求该多面体的体积.

Answer

（1）、（2）见解析；（3）.

【解析】

（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO,DO，

∵F,O分别为BP，PC的中点，

∴∥BC，且,

又ABCD为平行四边形,∥BC，且,

∴∥ED，且

∴四边形EFOD是平行四边形

即EF∥DO又EF平面PDC

∴EF∥平面PDC．

（Ⅱ）若∠CDP＝90°,则PD⊥DC，

又AD⊥平面PDC∴AD⊥DP,

∴PD⊥平面ABCD,

∵BE平面ABCD，

∴BE⊥DP

（Ⅲ）连结AC,由ABCD为平行四边形可知与面积相等，

所以三棱锥与三棱锥体积相等，

即五面体的体积为三棱锥体积的二倍.

∵AD⊥平面PDC，∴AD⊥DP,由AD=3，AP=5，可得DP=4

又∠CDP＝120°PC=2，

由余弦定理并整理得, 解得DC=2

∴三棱锥的体积

∴该五面体的体积为