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是以为焦点的抛物线是以直线的渐近线,以为一个焦点的双曲线.

1)求双曲线的标准方程;

2)若在第一象限有两个公共点,求的取值范围,并求的最大值;

3)是否存在正数,使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上?如果存在,求出的值;如果不存在,说明理由.

 

答案:
(1)(2);9;(3)存在正数, 【解析】 (1)可知焦点坐标在轴上,可设,再根据两条渐近线与得出关系式,再由焦点是,结合即可求得双曲线方程; (2)由与在第一象限内有两个公共点和,联立双曲线和抛物线方程,可得的取值范围;设,用坐标表示,利用韦达定理及配方法,可得的最大值; (3)由(2)及重心公式可得的重心,,即,,假设恰好在双曲线的渐近线上,代入渐近线方程,即可求得结论. (1)由题可知焦点为,故焦点在轴上,设双曲线的方程为 是以直线与为渐近线, ,,,双曲线方程为; (2)抛物线的焦点,,联立双曲线方程消得:, 可得,与在第一象限内有两个公共点和,, 设,则 将代入得,函数的对称轴为,,时,的最大值为9; (3)由(2)知的重心为,, ,, 假设恰好在双曲线的渐近线上,代入可得,,或,, 存在正数,使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上
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