Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：（y﹣1）²﹣x²＝1交于A，B两点．

（1）求|AB|的长；

（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．

Answer

（1）2．（2）1

【解析】

（1）将直线l的参数方程的标准形式，代入曲线C的方程得．设点A，B对应的参数分别为μ1，μ2，可得μ1+μ2，μ1μ2的值，可得|AB|的长；

（2）将点P的极坐标化为直角坐标，可得中点M对应参数，由参数μ的几何意义，可得点P到线段AB中点M的距离|PM|.

解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），

∴直线l的参数方程的标准形式为（μ为参数），

代入曲线C的方程得μ2+2μ﹣4＝0．

设点A，B对应的参数分别为μ1，μ2，

则μ1+μ2＝﹣2，μ1μ2＝﹣4，

∴|AB|＝|μ1﹣μ2|＝2．

（2）∵点P的极坐标为，

∴由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为（﹣1，1），

∴点P在直线l上，中点M对应参数为1，

由参数μ的几何意义，点P到线段AB中点M的距离|PM|＝1．