Question

已知函数.

（1）若在上存在极小值，求的取值范围；

（2）设（为的导函数），的最小值为，且，求的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）对求导，研究单调性，求出极小值点为，依题意知，求解即可;

（2）对求导，令，二次求导可得，所以在上单调递增，所以是即的唯一实根， 由求解的取值范围即可.

（1）函数的定义域为.

.

令，解得.

因为在上，；在上，.

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以的极小值为.

依题意知，即，所以.

解得.

即的取值范围为.

（2），所以.

令，则，所以在上单调递增.

所以是即的唯一实根.

令，得，即.

所以

.

由题意得，解得.

所以的取值范围为.