Question

如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且.点是线段上一点，且.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）先证明，再结合得到平面，即得证；

（2）建立如图所示空间直角坐标系，求解平面SED，CED的法向量，利用二面角的向量公式可得解.

（1）因为，，

所以，

所以.

因为，所以，所以，

所以.

因为平面，平面，所以.

又，所以平面.

而平面，所以平面平面.

（2）

过作，交于点.

以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，.

所以，，.

设平面的法向量为，

则即取，则.

易知为平面的一个法向量，且.

所以.

所以所求二面角的正弦值为.