Question

如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）若，求三棱锥的体积.

Answer

（1）见解析

（2）见解析

（3）

【解析】

（1）设和的交点为，根据，且，得到四边形为平行四边形，故，平面．

（2）证明平面，可得平面，故有，由正方形的两对角线的性质可得，

从而证得平面．

（3）利用等体积法将转化为求可得.

证明：（1）设和的交点为O，连接EO，连接OD.

因为O为的中点，D为AB的中点，

所以且.又E是中点，

所以，且，

所以且.

所以，四边形ECOD为平行四边形.所以.

又平面，平面，则平面.

（2）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，.

所以平面ABC.因为平面ABC，所以.

由已知得，所以，

所以平面.由（1）可知，所以平面.

所以.因为侧面是正方形，所以.

又，平面，平面，

所以平面.

（3）解：由条件求得，，可以求得

所以