Question

在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为：（为参数）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点P的直角坐标为，若直线l与曲线C分别相交于A，B两点，求的值.

Answer

（Ⅰ），；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据参数方程与普通方程的转化即可得曲线C的普通方程；由极坐标与直角坐标的转化可得直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）将直线l的直角坐标方程化为标准参数方程，联立椭圆方程，结合参数方程的几何意义即可求解.

（Ⅰ）曲线C的参数方程为：（为参数）.

变形为,平方相加后可转化为直角坐标方程得.

直线l的极坐标方程为.

展开可得,即

化简可得直角坐标方程为.

（Ⅱ）把直线的方程为转换为标准参数方程可得（t为参数）.

把直线的标准参数方程代入曲线的直角坐标方程，

可得，

所以，，

所以由参数方程的几何意义可知