Question

已知椭圆：（）的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，满足，求直线的方程.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）根据题意求出，即可写出椭圆的标准方程.

（2）当直线不存在斜率时，可求出四点，可验证；当直线存在斜率时，设直线方程为，将直线分别与椭圆方程、抛物线方程联立，利用弦长公式和焦点弦公式求出、，根据解方程即可.

解：（1）由已知椭圆的离心率，，得，则，

故椭圆的标准方程为

（2）当直线不存在斜率时，可求出，，，，

所以，，不满足条件；

当直线存在斜率时，设直线方程为，代入椭圆方程得：

，恒成立，

设，，则

∴

将直线：，代入抛物线得，

设，，则，

又因为，

由得：，∴，

解得，

所以直线的方程为.