Question

已知函数

（1）在点处的切线方程为，求和的值；

（2）对任意的，恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）求，由导数的几何意义可得，求出，求出，把点代入切线方程，求出图；

（2）对任意的，恒成立，等价不等式对任意的恒成立. 令，只需.求，对分类讨论，利用的单调性求解.

（1）函数的定义域为，.

在点处的切线方程为，

由导数的几何意义可得，即.

，

把点代入切线方程，得.

.

（2）对任意的，恒成立，即对任意的恒成立，

等价于对任意的恒成立.

令，则.

当时，恒成立，在单调递增，

恒成立，

故满足题意.

当时，令.

当时，；当时，，

在单调递减，在单调递增，

.

令，

则在上恒成立，

在单调递减，

，与对任意的恒成立矛盾，

故不合题意，舍去.

综上，.

所以实数的取值范围为.