Question

已知右焦点为的椭圆：过点

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于点，连接（为坐标原点）交于点，求的面积取得最大值时直线的方程.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意可知，左焦点.所以由椭圆的定义可求，再根据求出，即可求出椭圆C的方程；

（2）分类讨论当直线的斜率存在和不存在两种情况求的面积. 当直线的斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出的面积，再利用基本不等式求最值.

（1）椭圆C：的右焦点为，左焦点.

椭圆C过点P，由椭圆的定义可知

，

.

由椭圆的方程为.

（2）由题意可知，直线的斜率不为0.

当直线的斜率不存在时，易求.

当直线的斜率存在时，可设直线的方程为.

联立方程组消可得，

则，

,

.

是的中点，

，

，

，当且仅当，即时等号成立.

面积的最大值为2.

综上，面积的最大值为2.

所以直线的方程为.