Question

如图所示四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer

（1）证明见详解；（2）.

【解析】

（1）先证，由线面垂直的判定定理可证平面，再由面面垂直的判定定理可证平面平面；

（2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，求两个法向量夹角的余弦值，再求正弦值.

（1）证明：.

又平面平面，平面平面，

平面，

又平面，

又平面平面平面.

（2）取的中点，连接.

平面平面，平面平面平面，

平面.

以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.

则

.

，又平面，

是平面的一个法向量，.

设是平面的法向量，则

，即，则，令，

.

.

所以二面角的正弦值为.