Question

已知椭圆经过点，离心率，直线的方程为.

（1）求，的值；

（2）过椭圆左焦点的直线交椭圆于，两点，过作直线的垂线与交于点.求证：当直线绕点旋转时，直线必经过轴上一定点.

Answer

（1），；（2）证明见解析

【解析】

（1）根据椭圆的离心率和椭圆上一点，列方程求得的值：（2）设直线的方程与椭圆联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理用表示出：，，及，在写出直线方程，化简整理，即可分析出恒过的定点

解：由，得，

又在椭圆上，

解得：，

（1）左焦点，设直线的方程为：

由

设，，

则，，

直线

令，可得，

即，

可得，

而，

则，

所以可得

即直线经过点．

特别，当与轴重合时，显然直线经过点．

综上所述，直线过定点.