Question

已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣1．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过抛物线C的焦点作直线l，交抛物线C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为6，求|AB|．

Answer

（1）y2＝4x；（2）14

【解析】

（1）运用抛物线的准线方程，得到p=2,进而得到抛物线的方程；

（2）设直线l为：x＝my+1，与抛物线联立，得到韦达定理，结合中点坐标，即得解m，再利用|AB|＝x+x'+p，即得解弦长.

（1）由抛物线的准线得：1，∴p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x；

（2）由（1）得焦点F（1，0），又由题意得，显然直线的斜率不为零，

设直线l为：x＝my+1，A（x，y），B（x'，y'），

联立直线l与抛物线的方程得：

y2﹣4my﹣4＝0，

y+y'＝4m，x+x'＝m（y+y'）+2＝4m2+2，

由题意得：4m2+2＝2•6＝12，

∴|AB|＝x+x'+p＝12+2＝14，

所以弦长|AB|为14．