Question

已知椭圆的离心率，一个长轴顶点在直线上，若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为.

（1）求该椭圆的方程.

（2）若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

Answer

（1）；（2）的面积为定值1.

【解析】

（1）根据离心率及长轴即可写出椭圆标准方程（2）设，，当直线的斜率存在时，设其方程为，求，点到直线的距离，写出三角形面积，化简即可求证.

由，又由于，一个长轴顶点在直线上，

可得：，，.

（1）故此椭圆的方程为.

（2）设，，当直线的斜率存在时，设其方程为，

联立椭圆的方程得：，

由，可得，

则，，

，

又点到直线的距离，

，

由于，

可得：，

故，

当直线的斜率不存在时，可算得：，

故的面积为定值1.