Question

如图1，在边长为2的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.

（1）求证：平面；

（2）在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）存在，且

【解析】

（1），，由线面垂直的判定定理得到平面，从而有，又，再由线面垂直的判定定理证明。

（2）假设在线段上是否存在点，使平面平面，根据（1）建立空间直角坐标系，设，则，所以，若使平面平面，分别求得两个平面的法向量，再通过两个法向量数量积为零求解.

（1）证明：因为于点，

所以，

，，且，

平面，

，

平面.

（2）假设在线段上是否存在点，使平面平面.

根据（1）建立如图所示空间直角坐标系：

则，，

设，

则，所以，

所以，

设平面一个法向量为：，

则，即，

令，所以，

设平面一个法向量为：，

则，即，

令，所以，

因为平面平面，

所以，即

解得.

所以在线段上是否存在点，使平面平面，且.