Question

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（为极径，为极角）．

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）若射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的值．

Answer

（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）消去参数，求得曲线的直角方程为，再根据图象的变换公式，即可求解曲线的方程，进而得到其极坐标方程；

（Ⅱ）将代入，根据极坐标中极经的几何意义，即可求解。

（Ⅰ）由曲线的参数方程为 (为参数)，

得，所以曲线的直角方程为；

曲线经过伸缩变换得到的参数方程为，得，

所以曲线的极坐标方程为.

（Ⅱ）将代入

得，即，

同理，

所以.