Question

已知函数，且.

（1）求的值；

（2）当时，求证：.

Answer

（1）k=1 （2）证明见详解

【解析】

（1）求导，分，，讨论单调性，判断是否恒成立即可；

（2）由(1): ,且，转化，

构造证明即可.

（1）

（i）当时，，，不成立；

（ii）当时，令，故在单调递增，

令，故在单调递减.

若，，成立；

若，，在单调递增，，不成立；

若，，在单调递减，，不成立；

（iii）当时，令，故在单调递增，

令，故在单调递减.

,,不成立.

综上：k=1

（2）由(1): ,且

故：

即

只需证：

令

故g(x)在单调递减

因此

故得证.