答案：
①③
【解析】
①先求出函数的导数，令导函数小于0，解出即可判断；②根据函数的单调性画出函数的图象，通过图象读出即可；③求出f（x）的最大值小于y＝x2+1的最小值，从而得到答案；④利用对勾函数即可作出判断．
解：①f′（x），令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴函数f（x）在（1，+∞）递减，故①正确；
②∵f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）max＝f（1），
x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→0，
画出函数f（x）的图象，如图示：
，
∴当k∈（﹣∞，0）时，直线y＝k与y＝f（x）的图象有1个不同交点，
当k∈（0，）时，直线y＝k与y＝f（x）的图象有两个不同交点，故②错误；
③函数f（x），而y＝x2+1≥1，
∴函数y＝f（x）的图象与y＝x2+1的图象没有公共点，故③正确；
④当时，令t=，
在上单调递减，
∴，最小值不等于2，故④错误.
故答案为：①③．