Question

如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动.

（1）当时，求点的位置；

（2）设平面与平面所成二面角的大小为，求的取值范围.

Answer

（1）是的靠近的三等分点；（2）．

【解析】

（1）先证明，再证得平面，然后以为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，设出点坐标，由可求得点位置；

（2）求出平面和平面的一个法向量，由法向量夹角余弦的绝对值等于二面角的余弦可得结论．

（1）∵，∴，

，∴，

又，平面平面，平面平面，平面，∴平面，

以为轴建立空间直角坐标系，如图，

，

设，，

则，

∵，∴，解得，∴．

是的靠近的三等分点．

（2）由（1），设平面的一个法向量为，则，取，则，

易知平面的一个法向量为，

∴，

∵，∴．