Question

如图1，，过动点作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将折起，使（如图2所示），

（1）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；

（2）当三棱锥的体积最大时，设点分别为棱的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小.

Answer

（1） ；（2），

【解析】

（1）设，先利用线面垂直的判定定理证明即为三棱锥的高，再将三棱锥的体积表示为的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；

（2）由（1）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出点坐标，从而确定点位置，再求平面的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角

(1)设，则

∵折起前，∴折起后

∴平面

∴

设，

∵，∴在上为增函数，在上为减函数

∴当时，函数取最大值

∴当时，三棱锥的体积最大；

(2)以为原点，建立如图直角坐标系，

由(1)知，三棱锥的体积最大时，,

∴ ,且

设，则

∵，∴

即，

∴，∴,

∴当时，

设平面的一个法向量为，由及

得，取

设与平面所成角为，则

，

∴

∴与平面所成角的大小为.