Question

已知函数

（Ⅰ）当时，若函数在区间上的最小值为，求的值；

（Ⅱ）当时，求证：对于一切的，恒成立.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）利用导数研究函数的单调性，再对分类讨论即可得出；（Ⅱ）先作差放缩.再利用导数证明即得证.

（Ⅰ）函数的定义域是．

当时，

令，即，

所以或．

当，即时，在，上单调递增，

所以在，上的最小值是，解得；

当即时，在，上的最小值是，

即

令，所以时单调递增，

所以，所以无解；

综上得．

（Ⅱ）

.

令，

令，所以，所以，所以.

所以对于一切的，恒成立.

即得证.