Question

“五一”期间，甲乙两个商场分别开展促销活动.

（Ⅰ）甲商场的规则是：凡购物满100元，可抽奖一次，从装有大小、形状相同的4个白球、4个黑球的袋中摸出4个球，中奖情况如下表：

摸出的结果	获得奖金（单位：元）
4个白球或4个黑球	200
3个白球1个黑球或3个黑球1个白球	20
2个黑球2个白球	10

记为抽奖一次获得的奖金，求的分布列和期望.

（Ⅱ）乙商场的规则是：凡购物满100元，可抽奖10次.其中，第次抽奖方法是：从编号为的袋中（装有大小、形状相同的个白球和个黑球）摸出个球，若该次摸出的个球颜色都相同，则可获得奖金元；记第次获奖概率.设各次摸奖的结果互不影响，最终所获得的总奖金为10次奖金之和.

①求证：；

②若某顾客购买120元的商品，不考虑其它因素，从获得奖金的期望分析，他应该选择哪一家商场？

Answer

（Ⅰ）分布列见解析，期望为20；（Ⅱ）①证明见解析；②选择甲商场.

【解析】

（Ⅰ）的所有可能数值为为200，20，10，分别求出概率，由此能求出的分布列和期望；

（Ⅱ）①记，2，3，，为第次抽奖获得的奖金，的取值为，0，求出，再证明；②由，即在甲商场抽奖得奖金的期望值更高，故选甲商场．

（Ⅰ）的所有可能数值为为200，20，10，

，

，

，

．

（Ⅱ）①记，2，3，，为第次抽奖获得的奖金，的取值为，0，

且，

则，

所以

.

所以在定义域内单调递减，所以.

所以；

②由题得，，2，3，，10，

记为在乙商场抽奖获得的总奖金，则，

，即在甲商场抽奖得奖金的期望值更高，故选甲商场．