Question

已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个极值点，证明：

Answer

（1）见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）首先对函数求导，根据韦达定理与判别式确定二次函数根的分布，然后根据函数值的正负确定函数的单调性；

（2）首先求出，然后在对求出的表达式进行切线缩放即可证明不等式.

（1）由题知函数的定义域为，

有，

对有，

当时，有，

所以函数在上单调递增，

当时，有两个根，，设，

根据韦达定理有，，

当时，

有两个正根，，

可知当时，函数单调递增，

当时，函数单调递减，

当时，函数单调递增，

当时，

有两个根，，

可知当时，函数单调递减，

可知当时，函数单调递增；

（2）由（1）知当时，函数有两个极值点，，设，

根据（1）中单调性可知函数在处取极大值，处取极小值，

所以，

代入，，

整理得，

令，有，

有，

因为，

代入有.