Question

已知，点满足，记点的轨迹为.斜率为的直线过点，且与轨迹相交于两点.

（1）求轨迹的方程；

（2）求斜率的取值范围；

（3）在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）根据双曲线的定义即可求得方程；

（2）联立直线与双曲线方程，转化成方程有解问题；

（3）假设存在点，联立直线和双曲线整理成二次方程，根据结合韦达定理求解.

（1）因为，点满足，

所以点的轨迹为以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，

设其方程，则，

所以轨迹的方程：；

（2）斜率为的直线过点，直线方程为，代入，

，即有两个不等正根，

，

由得，当时，

且

即不等式组的解：

所以；

（3）假设存在，设点，使，

由（2）：斜率为的直线过点，直线方程为，代入，

，即有两个不等正根，

，

，所以，

，对恒成立，

所以，解得，即，

当直线斜率不存在时，直线方程，此时，

，仍然满足，

所以这样的点存在，.