Question

已知椭圆C：（）经过点，且离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C的上顶点为A，经过点，且斜率为k的直线与椭圆C交于不同两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

(1)根据离心率和椭圆上的点列方程，求解a,b的值可求得椭圆方程；

(2)由题设知，设直线PQ的方程，用k表示，然后代入椭圆中，得到关于x得一元二次方程，利用韦达定理，用k表示，，从而表示直线AP与AQ的斜率之和，并化简

（1）由题意知，

解得，，

所以，椭圆方程为.

（2）由题设知，直线PQ的方程为（），

代入，

得，

由已知，设，，，

则，，

从而直线AP与AQ的斜率之和

.