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在直角坐标系中，以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线、相交于点A，B.

（Ⅰ）将曲线、的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求弦AB的长.

 

答案：
（Ⅰ）的直角坐标方程为，的直角坐标方程为（Ⅱ） 【解析】 （Ⅰ）直接利用极坐标方程公式化简得到答案. （Ⅱ）圆心到直线的距离，计算得到答案. （1），即， 故曲线的直角坐标方程为； 曲线的直角坐标方程为. （2）曲线表示圆心为（2，0），半径的圆，曲线表示直线， 则圆心到直线的距离，所以弦长.
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已知函数．

（Ⅰ）若是的极值点，确定的值；

（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．

 

已知为抛物线上一点，点到直线的最小距离为．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）过点（1，0）作两条互相垂直的直线，与抛物线C分别交于，求四边形的面积的最小值．

 

如图的几何体中，．底面是正三角形，．四边形是矩形，且平面底面．

（Ⅰ）在上运动，当在何处时，有平面，并且说明理由；

（Ⅱ）当平面时，求二面角余弦值．

 

普通高中国家助学金，用于资助家庭困难的在校高中生.在本地，助学金分一等和二等两类，一等助学金每学期1250元，二等助学金每学期750元，并规定：属于农村建档立卡户的学生评一等助学金.某班有10名获得助学金的贫困学生，其中有3名属于农村建档立卡户，这10名学生中有4名获一等助学金，另6名获二等助学金.现从这10名学生中任选3名参加座谈会.

（Ⅰ）若事件A表示“选出的3名同学既有建档立卡户学生，又有非建档立卡户学生”，求A的概率；

（Ⅱ）设X为选出的3名同学一学期获助学金的总金额，求随机变量X的分布列和数学期望．

 

在△ ABC中，为锐角，角A、B、C的对边分别为、、，是外接圆半径，已知向量，且.

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，△ ABC的面积为，求的值.