Question

设函数，其中．

（Ⅰ）试讨论的单调性；

（Ⅱ）若函数存在极值，对于任意的，存在正实数，使得 ，试判断与的大小关系并给出证明.

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ），证明见解析

【解析】

（Ⅰ）求得的导数，并分解因式，讨论和，判断导数的符号，即可得到所求单调性；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，存在极值．由条件知，求出，，作差，运用构造函数法，求出导数，判断单调性，即可得到所求大小关系．

解：（Ⅰ）因为的定义域为，

属于，

当时，，在上单调递增；

当时，则由得或（舍去），

故时，；时，，

所以，在上单调递增，在上单调递减；

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，存在极值．

，

由条件知，，

又，

则

，

设，由，可得，

则，

令，，

可得 恒成立，

则在单调递增，则（1），

则，即，

则，

即，

又在上单调递减，

则，

即有．