Question

已知三棱锥的四个顶点都在表面积为的球面上，底面是边长为的等边三角形，则三棱锥体积的最大值为____________.

Answer

【解析】

由题意画出图形，结合已知可得，所求三棱锥为正三棱锥，求出三棱锥的高，可得三棱锥体积的最大值．

解：设球的半径为，由题意可知，，得．

如图：

底面是边长为的等边三角形，

要使三棱锥体积的最大，则三棱锥为正三棱锥，

过作底面，则为三角形的中心，

连接并延长，交于，则，

，

设三棱锥的高为，

设球心为，在中，由，得，

解得：或（舍去）．

三棱锥体积的最大值为．

故答案为：．