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椭圆a0b0)的左右焦点分别为F1F2,与y轴正半轴交于点B,若BF1F2为等腰直角三角形,且直线BF1被圆x2+y2b2所截得的弦长为2

1)求椭圆的方程;

2)直线lykx+m与椭圆交于点AC,线段AC的中点为M,射线MO与椭圆交于点P,点OPAC的重心,求证:PAC的面积S为定值;

 

答案:
(1)1;(2)见解析 【解析】 (1)由题意得b=c,BF1=2,求出a、b后即可得解; (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),联立方程组得,,由题意x0,y0,△PAC的面积,化简即可得证. (1)根据题意,由△BF1F2为等腰直角三角形可得b=c, 直线BF1:y=x+b被圆x2+y2=b2所截得的弦长为2,即BF1=2, 所以a=2,,所以椭圆的方程为1; (2)证明:直线l的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0, x1+x2,x1x2,y1+y2=k(x1+x2)+2m, 由题意点O为△PAC重心,设P(x0,y0),可得0,0, 所以x0=-(x1+x2),y0=-(y1+y2), 代入椭圆1;得1,化为2m2=1+2k2, 设坐标原点O到直线l的距离为d, 则△PAC的面积S|AC|•3d|x1﹣x2|•|m|•|x1﹣x2|•|m| •|m|=3••. 可得△PAC的面积S为定值.
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