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个编号为的不同小球全部放入个编号为个不同盒子中.求:

1)每个盒至少一个球,有多少种不同的放法?

2)恰好有一个空盒,有多少种不同的放法?

3)每盒放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,有多少种不同的放法?

4)把已知中个不同的小球换成四个完全相同的小球(无编号),其余条件不变,恰有一个空盒,有多少种不同的放法?

 

答案:
(1)(种);(2)(种);(3)(种);(4)(种). 【解析】 (1)根据题意知,每个盒子里有且只有个小球,利用排列数可得出结果; (2)先将个小球分为组,各组的球数分别为、、,然后分配给个盒子中的个盒子,利用组合与排列计数原理可得出结果; (3)考查编号为的盒子中放入编号为的小球,列举出此种情况下其它个球均未放入相应编号的盒子里,在此种放法种数上乘以可得结果; (4)空盒编号有种情况,然后将个完全相同的小球放入其它个盒子,没有空盒,利用隔板法求出结果,乘以即得所求放法种数. (1)根据题意知,每个盒子里有且只有一个小球,所求放法种数为(种); (2)先将个小球分为组,各组的球数分别为、、,然后分配给个盒子中的个盒子,由分步乘法计数原理可知,所求的放法种数为(种); (3)考查编号为的盒子中放入编号为的小球,则其它个球均未放入相应编号的盒子,那么编号为、、的盒子中放入的小球编号可以依次为、、或、、, 因此,所求放法种数为(种); (4)按两步进行,空盒编号有种情况, 然后将个完全相同的小球放入其它个盒子,没有空盒, 则只需在个完全相同的小球所形成的个空(不包括两端)中插入块板, 由分步乘法计数原理可知,所求的放法种数为(种).
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