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已知在四棱锥中,的中点,是等边三角形,平面平面.

1)求证:平面

2)求二面角的余弦值.

 

答案:
(1)见解析(2) 【解析】 (1)取的中点为,连结,,,设交于,连结.证明,,即可证平面;(2)取的中点为,以为空间坐标原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.设,利用向量法求二面角的余弦值. (1)证明:取的中点为,连结,,,设交于,连结. 因为,, 四边形与四边形均为菱形, , ,, 因为为等边三角形,为中点, , 因为平面平面,且平面平面. 平面且, 平面 因为平面, , 因为H,分别为, 的中点, , . 又因为 , 平面, 平面. (2)取的中点为,以为空间坐标原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系. 设,则,,,, ,, 设平面的一法向量. 由 .令,则. 由(1)可知,平面的一个法向量, 二面角的平面角的余弦值为.
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