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已知椭圆的左、右焦点分别为,过点的直线与椭圆交于两点,延长交椭圆于点的周长为8.

(1)求的离心率及方程;

(2)试问:是否存在定点,使得为定值?若存在,求;若不存在,请说明理由.

 

答案:
(1),; (2)存在点,且. 【解析】 (1)由已知条件得,,即可计算出离心率和椭圆方程 (2)假设存在点,分别求出直线的斜率不存在、直线的斜率存在的表达式,令其相等,求出结果 (1)由题意可知,,则, 又的周长为8,所以,即, 则,. 故的方程为. (2)假设存在点,使得为定值. 若直线的斜率不存在,直线的方程为,,, 则. 若直线的斜率存在,设的方程为, 设点,,联立,得, 根据韦达定理可得:,, 由于,, 则 因为为定值,所以, 解得,故存在点,且.
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