Question

已知三棱锥中，，，，为等边三角形，平面平面，为的中点

（1）求证：平面.

（2）若为的中点，求三棱锥的体积.

（3）（只理科做）求二面角的正弦值.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由面面垂直的性质定理直接可得

（2）过作于，先证平面，然后，其中，

（3）过作于，连结，然后可证得为二面角所成平面角，然后求出即可

（1）.∵平面平面，平面平面，

∵，平面，∴平面.

（2）过作于，

∵平面平面，平面平面

平面，∴平面，

∵，，

∴，∵为等边三角形，∴，

∵为中点，为中点

∴，

∴，，∴

（3）过作于，连结，

∵平面，面

∴，∵，∴面，∵面

∴，∴为二面角所成平面角，

∵，.为等边三角形，

∴，∵面，∴，∴

∴