Question

已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，设函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的最大值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）求导后含参数，通过分类讨论容易得出结论；

（2）问题等价为在上至少有两个不同的正根，再构造函数求解即可．

解：（1）因为的定义域为，

当时，函数导数为，

若时，，单调递减，

若时，，当或时，，当时，，

即函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增．

若时，，当或时，，当时，，

函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增．

综上，若时，函数的减区间为，无增区间，

若时，函数的减区间为，，增区间为，

若时，函数的减区间为，，增区间为．

（2）当时，设函数．

令，，

当时，，为增函数，，为增函数，在区间上递增，

在，上的值域是

在上至少有两个不同的正根，，令，.

求导得，，

令，

则，

所以在递增，，，

∴当，，；

当，，.

∴在上递减，在上递增，

，

的最大值为．