Question

直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧棱长为3，AB⊥BC，AB+BC＝4，若三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的外接球为球O，则球O表面积的最小值为（    ）

A.17π B.18π C.19π D.20π

Answer

A

【解析】

根据三棱柱的几何特点，找出球心，构造直角三角形，求解半径的最小值即可.

根据题意，取中点为，过作的平行线，

交于，取中点为，作图如下：

因为三棱柱是直三棱柱，且底面为直角三角形，

故外接球的球心即为的中点.

则设外接球的半径为，则，.

为底面三角形的外接圆半径，

由勾股定理可得，以及，

容易得

由均值不等式可得，

当且仅当时取得最小值.

即的最小值为.

在直角三角形中，，

由上述推导可知，.

故.

故选：A.