Question

已知函数，

（1）若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围；

（2）若函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值.

Answer

（1） （2）

【解析】

（1）先用定义判断的单调性，再根据单调性解函数不等式，再转化为最大值可得；

（2）先求出，再将等式恒成立 换元后转化为在时恒成立，然后用基本不等式求最值代入不等式可解得．

解：（1）.

对任意，有：

.

因为，所以，所以，

因此在上递增.

令，则且，所以，

即在时有解.

当时，，所以.

（2）因为，所以（），

所以.

不等式恒成立，

即，

令，，则在时恒成立.

因为，由基本不等式可得：，当且仅当时，等号成立.

所以，则实数的最大值为.