Question

利用一半径为4cm的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥．方法如下：

(1)以O为圆心制作一个小的圆；

(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD；

(3)以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)；

(4)将正方形ABCD作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合，问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为

A. B. C. D.

Answer

C

【解析】

设小圆的半径为，连OD.OH.OH与AD交于点M，表示正四棱锥的体积，利用导数研究函数的最值，即可得到结果.

设小圆的半径为，连OD.OH.OH与AD交于点M，则.因为大圆半径R=4，所以，在正四棱锥中，如图所示，

.

所以

记，所以令，

易知，时，取最大值，所以小圆半径为时，V最大．故选C.