Question

已知点A（0，2），动点M到点A的距离比动点M到直线y＝﹣1的距离大1，动点M的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）Q为直线y＝﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值

Answer

（1）x2＝8y；（2）4．

【解析】

（1）确定动点M的轨迹为抛物线，计算得到答案.

（2）设Q（m，﹣1），设切线的斜率为k，计算得到k1+k2，k1k2，得到，计算得到答案.

（1）设动点M（x，y），动点M到点A的距离与动点M到直线y＝﹣2的距离相等，

∴动点M的轨迹为抛物线，且焦点为A，准线为y＝﹣2，

∴曲线C的方程为：x2＝8y；

（2）设Q（m，﹣1），设切线的斜率为k，

则切线方程为：y+1＝k（x﹣m），代入抛物线整理：x2﹣8kx+8km+8＝0，

由△＝0得：64k2＝32（km+1），

∴km＝2k2﹣1，

∴x2﹣8kx+16k2＝0，解得：x＝4k，

∴切点坐标为（4k，2k2），

由2k2﹣km﹣1＝0，得k1+k2，k1k2，

设直线QD与QE的夹角为θ，则tanθ＝||，

则sin2∠QDE＝1﹣cos2∠QDE

.

令切点（4k，2k2）到Q的距离为d，

则d2＝（4k﹣m）2+（2k2+1）2＝16k2﹣8km+m2+（km+2）2＝16k2﹣8km+m2+k2m2+4km+＝（8+m2）（k2+1），

∴|QD|，|QE|，

∴S（8+m2）••（8+m2）••

4，

∴当m＝0，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．