Question

已知函数f（x）x³+ax²+bx，且f′（﹣1）＝0．

（1）试用含a的代数式表示b；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）令a＝﹣1，设函数f（x）在x₁、x₂（x₁＜x₂）处取得极值，记点M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂））．证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M，N的公共点．

Answer

（1）b＝2a﹣1．（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）求导得到f′（x）＝x2+2ax+b，代入数据计算得到答案.

（2）讨论a＞1，a＝1和a＜1三种情况，分别计算得到答案.

（3）f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，得到函数单调区间，得到MN的方程为yx﹣1，计算F（0）＝3＞0，F（2）＝﹣3＜0，得到答案.

（1）依题意，得f′（x）＝x2+2ax+b．由f′（﹣1）＝1﹣2a+b＝0得b＝2a﹣1．

（2）f（x）x3+ax2+（2a﹣1）x，故f′（x）＝x2+2ax+2a﹣1＝（x+1）（x+2a﹣1）．

令f′（x）＝0，则x＝﹣1或x＝1﹣2a．

①当a＞1时，1﹣2a＜﹣1．

当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x

（﹣∞，1﹣2a）

（1﹣2a，﹣1）

（﹣1，+∞）

f′（x）

+

﹣

+

f（x）

单调递增

单调递减

单调递增

得，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a，﹣1）．

②当a＝1时，1﹣2a＝﹣1．此时，f′（x）≥0恒成立，且仅在x＝﹣1处f′（x）＝0，故函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）．

③当a＜1时，1﹣2a＞﹣1，同理可得函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a，+∞），单调减区间为（﹣1，1﹣2a）．

综上所述：当a＞1时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a，﹣1）；

当a＝1时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）；

当a＜1时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a，+∞），单调减区间为（﹣1，1﹣2a）．

（3）当a＝﹣1时，得f（x）x3﹣x2﹣3x．

由f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝0，得x1＝﹣1，x2＝3．

由（2）得f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞），单调减区间为（﹣1，3），

所以函数f（x）在x1＝﹣1，x2＝3处取得极值．故M（﹣1，），N（3，﹣9）．

所以直线MN的方程为yx﹣1．

由得x3﹣3x2﹣x+3＝0．

令F（x）＝x3﹣3x2﹣x+3．

易得F（0）＝3＞0，F（2）＝﹣3＜0，而F（x）的图象在（0，2）内是一条连续不断的曲线，

故F（x）在（0，2）内存在零点x0，这表明线段MN与曲线f（x）有异于M，N的公共点．