Question

已如抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线被截得的线段长为8.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点是抛物线上的动点，以为圆心的圆过点，且圆与直线相交于两点，是否存在实数使？若是，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）

（2）存在使得.

【解析】

（1）设直线l的方程为：，与抛物线联立得到，由于MN过焦点，因此，结合韦达定理，得解；

（2）设，圆的方程,令，得到关于点A，B横坐标的韦达定理，用表示，即得解.

（1），故直线l的方程为：

联立方程组：

设直线与抛物线的两个交点为，则

故抛物线的方程为

（2）由（1）知，设，则圆C的方程为：

令

设，则

，又

存在使得.