Question

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.交于，两点（在轴上方），交极轴于点（异于极点）.

（1）求的直角坐标方程和的直角坐标；

（2）若为的中点，为上的点，求的最小值.

Answer

（1）；直角坐标为.（2）

【解析】

（1）把两边同时乘以，结合，可得的直角坐标方程，取，可得点的直角坐标.
（2）设所对应的参数分别为t1，t2（t1＞0），将代入，得到关于的一元二次方程，求得，进一步得到的坐标，再求出的圆心，可得，则的最小值可求．

解法一：（1）由及，得，即，

所以圆的直角坐标方程为；

令，得或0（舍去），所以点的直角坐标为.

（2）设，所对应的参数分别为，（其中），

将代入得，，

解得或，所以，因为为中点，所以，

设，则，，所以，

依题意，的圆心，所以，

所以最小值为.

解法二：（1）同解法一；

（2）将直的参数方程（为参数），消去得，

即的普通方程为，由得，

解得或4，所以，又，

因为为中点，即，

依题意，的圆心，所以，

所以最小值为.