Question

已知函数．

（1）令，讨论的单调性；

（2）若，求a的取值范围．

Answer

（1）函数当时在上单调递减；当时在单调递增，在单调递减.（2）

【解析】

（1）表示的解析式，先确定定义域，再对其求导，利用分类讨论a的正负，解大于零和小于零的不等式，求得范围对应为增区间与减区间；

（2）等价于，利用（1）中的单调性结果，利用分类讨论思想表示，使其小于等于0，解得对应a的取值范围，综上分类讨论结果，求得答案.

（1）由题可知，定义域为

所以

当时，即，则在上单调递减；

当时，令得（负根舍去）．

令得；令得，

所以在单调递增，在单调递减，

综上所述，函数当时在上单调递减；当时在单调递增，在单调递减.

（2），即．

当时，，符合题意，

当时，由（1）可知，

，，，．

当时，在上单调递减，

且与的图象在上只有一个交点，

设此交点为，则当时，，

故当时，不满足．

综上，a的取值范围为．