Question

如图，已知定圆，定直线过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于两点，是中点．

（1）当与垂直时，求证：过圆心；

（2）当时，求直线的方程；

（3）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由．

Answer

（1）见解析 （2）或 （3）存在，是定值5

【解析】

（1）根据与垂直写出直线的方程；将圆心代入方程易知过圆心；

（2）过的一条动直线，应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线与轴垂直时，进行验证，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由于弦长，利用垂径定理，则圆心到弦的距离，从而解得斜率来得出直线的方程；

（3）当与轴垂直时，要对设，进行验证；当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程得到一个二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式求的坐标，再用两根直线方程联立，求的坐标，由图可知，再讨论是否为定值．

解：（1）由题意可知直线的斜率，由与垂直得直线的斜率，

所以直线的方程为．

将圆心代入方程易知过圆心；

（2）由于，是中点，由垂径定理得，

①当直线与轴垂直时，易知，圆心到直线的距离为1，符合题意；

②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即，

，解得，直线的方程为，即；

综上：直线的方程为或；

（3）①当与轴垂直时，易得，，又，

则，，此时；

②当的斜率存在时，设直线的方程为，

代入圆的方程化简得，

设，，，

则，，

即，，

又由得，

则，

由图可知，

；

综上：为定值5．