Question

已知函数，，函数的图象在点处的切线平行于轴．

（Ⅰ）求的值

（Ⅱ）设，若的所有零点中，仅有两个大于，设为，（）

（1）求证：，．

（2）过点，的直线的斜率为，证明：．

Answer

（Ⅰ）2（Ⅱ）（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（Ⅰ）求得，根据题设条件，得到，即可求解；

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）可得，求得，，利用零点存在性定理，即可得到结论；（2）由斜率公式，整理得到，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．

（Ⅰ）由题意，函数，可得，

又由函数的图象在点处的切线平行于轴，

所以，解得．

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）可得，

可得，，，

所以，，

由零点存在性定理，可得，．

（2）由斜率公式，可得，

因为，所以，所以，

所以，

设，则，

当时，，当时，当，

在上递增，在上递减，

又，所以，所以，

又由，解得．