Question

已知动圆与圆：相切，且与圆：相内切，记圆心的轨迹为曲线.设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于,两个不同的点.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；

（Ⅲ）记的面积为，的面积为，令，求的最大值.

Answer

（1）圆心的轨迹：；

（2）和的比值为一个常数，这个常数为；

（3）当时，取最大值.

【解析】

试题（1）根据两圆相切得圆心距与半径之间关系：，消去半径得，符合椭圆定义，由定义可得轨迹方程（2）探究问题，实质是计算问题，即利用坐标求和的比值：根据直线方程与椭圆方程联立方程组，利用两点间距离公式及韦达定理、弦长公式可得和的表达式，两式相比即得比值（3）因为的面积的面积，所以，利用原点到直线距离得三角形的高，而底为弦长MN（2中已求），可得面积表达式，为一个分式函数，结合变量分离法（整体代换）、基本不等式求最值

试题解析：解：（1）设圆心的坐标为，半径为，

由于动圆一圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切

∴

∴圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，

∴

故圆心的轨迹．

（2）设，直线，则直线，

由可得：，∴，

∴

由可得：，

∴，

∴

．

∴

∴和的比值为一个常数，这个常数为．

（3）∵，∴的面积的面积，∴，

∵到直线的距离，

∴．1

令，则，，

∵（当且仅当，即，亦即时取等号）

∴当时，取最大值．1